PRODUCTOS NOTABLES Y CASOS DE FACTOREO

Productos Notables

Productos notables, este es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Es recomendable memorizar todos los productos notables posibles ya que son utilizados frecuentemente en el álgebra.

Diferencia de cuadrados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Ejemplo

(3x + 5y)(3x − 5y) = (3x)(3x) + (3x)( − 5y) + (5y)(3x) + (5y)( − 5y)

Agrupoando los terminos:

(3x + 5y)(3x − 5y) = 9x2 − 25y2

Ejemplo 2

(2x − 3)(2x + 3) = (2x)2 − (3)2

 (2x − 3)(2x + 3) = 22X2 − 9

(2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9

Binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

(2x − 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)( − 3y) + ( − 3y)2

simplificando: (2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2

Ejemplo 1 Binomio al Cuadrado

Pasos para efectuar un binomio al cuadrado:

1. El primer término lo elevamos al cuadrado

2. El doble del primero término se multiplica por el segundo                          

3. El segundo término se eleva al cuadrado

(3x − 4)2 = 9x2 − 24x + 16

Ejemplo 2

(5x + 2)2 = 25x2 + 20x + 4

Ejemplo 3

(6y + 5)2 = 36y2 + 60x + 25

Ejemplo 4

(4z − 6)2 = 16z2 − 48x + 36

Binomio al cubo

Ejemplo

(x + y)3(x2 − xy + y2) = x3 + y3

(x − y)3(x2 + xy + y2) = x3 − y3

(3x − 4)2 = 9x2 − 2(3x)(4) + (4)2

(3x − 4)2 = 9x2 − 24x + 16

(3x + 4)2 = 9x2 + 2(3x)(4) + (4)2

(3x + 4)2 = 9x2 + 24x + 16

Nota: Si el signo del binomio es positivo, en la respuesta cada término tendrá signo positivo, y si fuese negativo, el primer término será positivo, luego negativo y positivo.

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

Ejemplo

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

Diferencia y suma de cubos

(x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3

(x + y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

Ejemplo

(x + 2)(x2 − 2x + 4) = (x3 + 8)

(x − 2)(x2 + 2x + 4) = (x3 − 8)

Suma de Polinomios

La suma de polinomios consiste en sumar el coeficiente de los términos del mismo grado, si son diferentes sólo se deja indicado

Sumar a − b, 2a + 3b − c y − 4a + 5b

la suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de parentésis; así:

(a − b) + (2a + − c) + ( − 4a + 5b)

Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos, y tendremos:

a − b + 2a + 3b − c − 4a + 5b = − a + 7b − c

Ejemplo 1

(x + 2) + (x2 − 2x + 4) = x2 + x − 2x + 2 + 4 = x2 − x + 6

Ejemplo 2

(2x2 + 3x + 2) + (2x + 1) = 2x2 + 3x + 2x + 2 + 1 = 2x2 + 5x + 4

Ejemplo 3

(7x4 + 3x3 − 5x2 − 1) + (x4 + 2x3 − 3x2 + 3) = 7x4 + x4 + 3x3 + 2x3 − 5x2 − 3x2 + 3 − 1 = 8x4 + 5x3 − 8x2 + 2

LA FACTORIZACION

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados
EJEMPLO.
(a - b)(a + b).

LOS CASOS DE FACTORIZACION

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

 y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría