Ecuación
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen
valores conocidos o datos, y desconocidos
o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a
través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros
procesos. Las incógnitas,
representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende
hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
la variable 
representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números
1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será
cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas;
se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que
sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números
1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será
cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas;
se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que
sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor
individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución
es:
Resolver una ecuación
es encontrar su dominio
solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales
la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o
más ecuaciones] sin
embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no
exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese
caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la
ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios,
o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una
solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de
la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el
cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad
Ecuación de primer
grado
Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la
incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1
(grado = 1), es decir que su exponente es 1.
Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:
donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente
de cero.
Su solución es sencilla: 
. Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.
. Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.
Resolución de
ecuaciones de primer grado]
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos:
transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante
un ejemplo.
Dada la ecuación:
Transposición
Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la
incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente
en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x o
la incógnita del problema) en el otro miembro. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que:
|
Si se suma o se resta un mismo
monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.
|
En términos coloquiales, se dice que: si un término está sumando (como
16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x
a la izquierda); y si está restando(como el −9 de la izquierda), pasa
al otro lado sumando (+9 a la derecha)
La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han
quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la
poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.
Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más
simple y corta. Si se efectua la simplificación del primer miembro:
Y se simplifica el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
Despeje
Ahora es cuando se llega al objetivo final: que la incógnita quede
aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual se recuerda que:
|
Si se multiplica o se divide ambos
miembros por un mismo número diferente de cero, la igualdad no varía.
|
En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la
está multiplicando (Ej: 5x) y no hay ningún otro término
sumando o restando en ese mismo miembro, se pasa dicho número al otro lado
dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un
número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al
otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.
Al pasar el 5 dividiendo al otro lado, lo que estamos haciendo en
realidad es dividir ambos miembros entre 5. Entonces, en el miembro donde estaba
el 5 obtenemos 5/5, que se anula quedando sólo la x (decimos que el 5 que
multiplicaba desaparece del primer miembro). En el otro lado,
en cambio, el 5 que agregamos dividiendo no puede anularse (decimos que aparece dividiendo
como si hubiera pasado de un lado a otro con la
operación convertida en su inversa).
Volviendo al ejemplo, debemos entonces pasar el número
95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin
cambiar de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en
la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos
simplificar.
Se puede resolver la fracción (numerador dividido entre denominador) si
el resultado fuera exacto; pero como en este caso es decimal (525:95 =
5,52631578947) se simplifica y ésa es la solución:
Las ecuaciones
polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica
Donde a es
el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la
incógnita está elevada a la potencia 2), b es el coeficiente
del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes,
o sea que está elevada a la potencia 1), y c es el término
independiente (el que no depende de la variable, o sea que está
compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado
tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación se
plantea sobre 
siempre se tienen dos soluciones:
siempre se tienen dos soluciones:
Obviamente la
condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales 
se requiere que 
y para que tenga soluciones sobre los números racionales 
se requiere 
.
se requiere que y para que tenga soluciones sobre los números racionales se requiere .
Inecuación
En
matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una
o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del
tipo < o
> se denomina inecuación en
sentido estricto y si es del tipo
\le o \ge se
denomina inecuación en sentido amplio.3
Del
mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una
inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación
incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables
se conocen como inecuaciones condicionales.4 Los valores que verifican la
desigualdad, son sus soluciones.
Ejemplo
de inecuación incondicional: |x| \le
|x|+|y| .
Ejemplo
de inecuación condicional: -2x+7<2 .
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