HISTORIA: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor
(1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de
conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de
formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años
antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las
matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la
definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este
monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión
de nuevos conceptos.
El problema apareció
cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más
célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más
paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y
la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las
matemáticas".
CLASES DE
CONJUNTOS
Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se
clasifican en:
Universal o
referencia.
§ Vacío.
§ Unitario.
§ Finito.
§ Infinito.
El conjunto
universal o referencia, es el formado por un amplio número de
elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del
abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se utiliza la
vocal U mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = { letras del
abecedario }
Gráficamente:
Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.
El conjunto
vacío es aquel que
no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A = { }
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = { números
impares entre 5 y 7 }
No existe ningún numero impar entre los números 5 y 7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un
paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo .
Conjunto unitario
El conjunto
unitario es aquel
que posee solamente un elemento.
Ejemplos:
1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de
10:
C = { 9 }
El único elemento es el número 9.
. Conjunto de satélites
naturales de la Tierra
S = { Luna }
El conjunto está formado por un solo elemento, porque la Tierra
solo posee un satélite natural, la Luna.
Conjunto finito
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
·
Conjunto de números pares entre
10 y 40:
R = {
10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
·
Conjunto de las páginas de un
libro:
T = { páginas de
un libro }.
·
Conjunto de vocales.
V = { a, e, o,
i, u }
Conjunto infinito
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
Ejemplos:
·
El conjunto de los números
naturales:
N = { 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}
El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no
es posible contar la totalidad de elementos (números) que conforman el
conjunto.
·
El conjunto de los peces en el
mar:
P = { los peces
en el mar }
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