NUMEROS REALESNPARTE 2

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar variables.

Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z), algunos números reales y operadores básicos como los de la suma, resta, multiplicación y división, obtendremos una expresión algebraica.

x + 9y2

Ejemplos de expresiones algebraicas son:

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2r

Tipos de Expresiones Algebraicas

§  Racional

§  Enteros

§  Fraccionarias

§  Irracional

Partes de un monomio

Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. 3

Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Tipos EXPRECIONES

Monomio: Es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa. Tiene la forma de:

axk

a=constante.

k=grado.

Ejemplo:

6x2;=monomio.

3; no es monomio.

Polinomio

Ejemplo:

− 8x3 + 4x2 − 6x + 2 es un polinomio.

Suma y resta de polinomios:

Ejemplo:

P(x) = 8x3 + 4x2 − 6x + 2

Q(x) = 3x4 − 2x3 + x2 + x

Escribimos todo como una sola expresión:

P(x) + Q(x) = (8x3 + 4x2 − 6x + 2) + (3x4 − 2x3 + x2 + x)

Para mayor claridad, agrupar por el valor de las potencias:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 8x3 − 2x3 + 4x2 + x2 − 6x + x + 2

Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:

P(x) + Q(x) = 3x4 + 6x3 − 5x2 − 5x + 2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 + 3x + 1

Q(x) = 5x + 3

P(x) * Q(x) = (2x2 + 3x + 1) * (5x + 3)

Ahora multiplicamos cada uno de los elementos de la primera expresión por la segunda:

P(x) * Q(x) = 2x2(5x + 3) + 3x(5x + 3) + 1(5x + 3)

P(x) * Q(x) = 10x3 + 6x2 + 15x2 + 9x + 5x + 3

Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:

P(x) * Q(x) = 10x3 + 21x2 + 14x + 3

Resta de Polinomios

La resta de polinomios consiste de realizar una suma algebraica. Si las variables al final de la operación son diferentes o bien que no sean del mismo orden, entonces solo dejamos indicada la expresión.

Ejemplo

(x + 2) − (x2 − 2x + 4) = − x2 + x + 2x + 2 − 4 = − x2 + 3x − 2

Multiplicación de Polinomios

En la multipicación de plinomios se presentan diferentes casos:

Concepto de polinomio de una sola variable Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0 Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes. n un número natural. x la variable o indeterminada. an es el coeficiente principal. ao es el término independiente.

Constante x polinomio.

Se resuelve multiplicando la constante por cada uno de los coeficientes del polinomio.

Ejemplo

2(x2 − 2x + 4) = 2x2 − 4x + 8

Monomio x polinomio

Es el producto de cada elemento del polinomio con el monomio. Se multiplican los coeficientes, si se tiene la misma base se copia la base y se suman los exponentes , sino sólo se deja indicada la multiplicación.

Ejemplo

2x3(x2 − 2x + 4y) = 2x5 − 4x4 + 8x3y

Polinomio x polinomio.

Se multiplica cada elemento de un polinomio por todos los elementos del otro polinomio.

Ejemplo

3x(2) = 2 + 4x

Efectuamos la miltiplicacion

6x = 2 + 4x

Ahora agrupamos terminos semejantes

6x − 4x = 2

2x = 2

Por lo tanto

x = 1

Ejemplo

(x + 2)(x3 + 8) = x4 + 8x + 2x3 + 16 = x4 + 2x3 + 8x + 16

División de Polinomios

La división de polinomios, es muy parecida a la división de números enteros, tiene las mismas partes que cualquier división, dividendo P(x), divisor Q(x), residuo R(x) y cociente C(x).

Una manera de comprobar que la división se realizó de un modo exitoso es utilizando la siguiente ecuación:

P(x) = Q(x) * C(x) + R(x)

Pasos para efectuar un binomio al cuadrado: 1. el primer término lo elevamos al cuadrado 2. el doble del primero término se multiplica por el segundo término 3. el segundo término elevado al cuadrado

Ejemplo:

(3x − 4)2 = 9x2 − 2(3x)(4) + (4)2

= 9x2 − 24x + 16

(3x + 4)2 = 9x2 + 2(3x)(4) + (4)2

= 9x2 + 24x + 16

Nota: si el signo del binomio es positivo, en la respuesta cada término tendrá signo positivo, y si fuese negativo, el primer término será positivo, luego negativo y positivo.